① 分離變數：ψ(x,y) = X(x)·Y(y)
2D 問題 = 兩個獨立的 1D 問題。改變 n_x, n_y 看兩個一維波函數如何相乘形成 2D 波函數。
觀察：X(x) 有 n_x 個反節點，Y(y) 有 n_y 個反節點。兩者相乘 → 2D 波函數呈 n_x × n_y 的網格狀。這是分離變數法的威力：高維問題簡化為低維問題的直積。
② 2D 波函數熱圖 ψ(x,y)
紅色為正、藍色為負、白色為節線。
節線規則：x 方向有 n_x−1 條垂直節線；y 方向有 n_y−1 條水平節線。波函數符號在跨越節線時變號。
③ 機率密度 |ψ(x,y)|²
最亮的亮斑就是「最可能找到粒子」的位置。
(n_x, n_y) = (1,1) 基態只有中央一個亮斑；高階態會有 n_x·n_y 個均勻分佈的亮斑。
④ 能階與簡併（方盒 L_x = L_y）
E_(n_x,n_y) ∝ n_x² + n_y²。方盒時不同 (n_x, n_y) 組合可能得到相同能量。
例如 (1,2) 和 (2,1) 的能量都是 1² + 2² = 5，彼此簡併（2 重）。這是空間對稱性導致的簡併——x、y 方向完全等價。
⑤ 方盒狀態地圖
點擊任一狀態查看大圖。相同顏色框代表相同能量（簡併）。
⑥ 破壞對稱 → 解除簡併
把 L_y 變成不等於 L_x，看簡併能階如何「裂開」。
L_y/L_x = 1（方盒）時很多能階重疊。一旦偏離 1（長方盒）→ 各能階分開。這是「對稱性保護簡併」的具體例子，和原子軌域在外場下分裂的 Stark 效應、Zeeman 效應同源。
⑦ 3D 立方盒能階
E ∝ n_x² + n_y² + n_z²。立方盒簡併更強。
立方盒中 (1,1,1) → E=3；(1,1,2), (1,2,1), (2,1,1) → E=6（3 重簡併）；(1,2,3) 類有 6 種排列 → 6 重簡併。這種簡併結構是理解自由電子氣、能帶填充的基礎。