① 邊界條件如何「挑出」允許的 k
盒外 V=∞ ⇒ ψ(0)=ψ(L)=0。只有 sin(nπx/L) 能同時滿足兩端為零。
調 k 時觀察右邊界 x=L 的 ψ 值。只有 k = nπ/L（n=1,2,3,...）時 ψ(L)=0 才成立 → 這就是能量量子化的來源。
② 本徵波函數 ψₙ(x) = √(2/L) sin(nπx/L)
選擇量子數 n，觀察波函數形狀與節點數。
規律：n 個反節點、n−1 個節點（不含兩端牆）。節點數隨 n 增加 → 對應更高曲率 → 更高能量。
③ 機率密度 |ψₙ(x)|²
波函數平方 = 找到粒子的機率密度。對比古典均勻分佈。
n 小時：機率密度劇烈起伏，和古典完全不同。n 大時：平均起來趨近古典均勻分佈 — 這就是 Bohr 對應原理。
④ 能階圖 Eₙ = n²h²/8mL²
能階間距隨 n² 張開，不是等距。
E₂ − E₁ : E₃ − E₂ : E₄ − E₃ = 3 : 5 : 7（奇數序列）。這和古典諧振子的等距能階截然不同。
⑤ 盒長 L 如何影響能階
E ∝ 1/L² — 盒子越小，能階越張開，這就是「量子束縛能」。
奈米尺度（L~1 nm）：能階差約 eV 級，和可見光光子相當。原子尺度（L~0.1 nm）：能階差上百 eV，屬 X 光。宏觀尺度（L=1 m）：能階差近乎 0，退化為連續。
⑥ 正交性：∫ψₘψₙ dx = δₘₙ
選兩個量子數，看它們的乘積和積分。
m ≠ n 時：乘積的正負部分剛好抵消 → 積分為 0（正交）。m = n 時：全部為正 → 積分為 1（正規化）。這是「不同量子態互不重疊」的數學表達。
⑦ 古典對應極限
用滑桿把 n 推大，看機率密度如何「塗抹」成均勻。
n 很大時：振盪太密集，肉眼看到的是平均值 = 1/L，正是古典「等機率在盒內任意位置」的結果。量子 → 古典的連續過渡，不是突然切換。
⑧ 實際例題：共軛 π 電子系統
把長鏈 π 電子當作一維盒中粒子（如 β-胡蘿蔔素）。
預測吸收波長隨鏈長延長而紅移，這就是為什麼共軛鏈越長、顏色越偏紅（β-胡蘿蔔素橙色，番茄紅素紅色）。