① 薛丁格方程 = 曲率方程
建立直覺：d²ψ/dx² = −(2mE/ℏ²)ψ 在說「波函數彎曲得越厲害，能量越高」。
ψ(x)
d²ψ/dx²（曲率）
兩條曲線幾乎是上下鏡像——這就是 ψ″ = −(const)·ψ 的視覺意義。E 越大，振盪越快（曲率越大）。
② 平面波 eikx 的實部、虛部、機率密度
改變 k 觀察波函數的空間頻率如何變化。
Re(ψ) = cos(kx)
Im(ψ) = sin(kx)
|ψ|² = 1（均勻）
重要觀察：平面波 |ψ|² = 常數——代表粒子「位置完全不確定，動量完全確定」。這正是 Heisenberg 不確定關係的極端情形。
③ 平面波動畫：方向感
加上時間演化 e-iEt/ℏ，看 Re(ψ(x,t)) 的波峰往哪邊移動。
正的 k → 波峰向右移 → 動量 p = +ℏk；負的 k → 波峰向左移 → 動量 p = −ℏk。波峰移動方向 = 動量方向。
④ 色散關係 E = ℏ²k²/2m
E 和 k 的關係是一條拋物線。點擊圖上任一點，看對應的波。
點擊曲線上的點以查看 E 與對應波函數。
k 連續 ⇒ E 連續。自由粒子能量不量子化，因為沒有邊界條件限制 k。
⑤ 疊加態 ψ = A·eikx + B·e-ikx
調整 A、B 的權重，看 |ψ|² 如何從均勻變成駐波。
Re(ψ)
Im(ψ)
|ψ|²
A = B 時變成 cos(kx) 駐波（|ψ|² 有節點）；B = 0 時是純行波（|ψ|² = |A|² 均勻）。「疊加態」不是粒子同時往左又往右，而是測量動量時有 |A|²、|B|² 機率得到 ±ℏk。
⑥ 動量本徵值驗證
示範 p̂ ψ = −iℏ·dψ/dx 作用在 e±ikx 上，得到 ±ℏk·ψ。
eikx 是 p̂ 的本徵函數 → 動量有確定值。這是量子力學「可觀測量 = 算符」框架的第一個具體例子。
⑦ 例題計算器：已知 E，求 k、λ、p
課本例題：1.0 eV 電子沿 +x 運動。自己改動能試試。
算出來的 k 是奈米級倒數 → 波長是奈米級 → 和原子大小相當 → 這就是為什麼電子在原子尺度必須用量子力學描述。
⑧ 能量連續 vs 離散：有無邊界的對比
自由粒子（無牆）vs 盒中粒子（有牆）。拖動滑桿改變「盒長 L」，看離散能階如何出現。
左：自由粒子，任何 E ≥ 0 都允許（連續帶狀）。右：盒中粒子，只有特定能階。關鍵訊息：量子力學不必然離散，是束縛才造成離散。