Topic 7A 習題詳解

討論題 Discussion Questions

D7A.1 歸納導致量子力學誕生的實驗證據 ▶

解答

三個關鍵實驗在19世紀末~20世紀初顯示古典力學不足以解釋微觀現象：

① 黑體輻射（Black-body Radiation）：古典瑞利-金斯定律預測短波長時輻射強度會發散趨向無限大（「紫外線災難」）。普朗克於1900年假設振盪器能量只能取 $E = nh\nu$（離散值），導出符合實驗的普朗克分佈，首次引入能量量子化概念。

② 光電效應（Photoelectric Effect）：紫外光照射金屬可打出電子，但存在頻率閾值；低於閾值無論光強多大都無電子射出。愛因斯坦（1905）提出光由能量 $E = h\nu$ 的光子（粒子）組成，成功解釋所有實驗觀測，間接確認了電磁輻射的粒子性。

③ 原子/分子光譜（Atomic & Molecular Spectra）：原子（如氫原子的巴耳末線系）只發射/吸收特定頻率的光，而非連續光譜。這直接表明原子的能量是量子化的，只能取離散值。後來玻耳（Bohr）頻率條件 $\Delta E = h\nu$ 把躍遷能量與光譜頻率連結起來。

④ 固體低溫熱容量：杜隆-珀蒂定律（古典等分定理）預測 $C_{V,m}=3R$ 與溫度無關，但實驗發現低溫時熱容量趨近零。愛因斯坦（1907）以量子化振動成功解釋此現象。

結論

這些實驗都指向同一結論：能量只能以離散的量子單位 $h\nu$ 傳遞，而非古典力學所假設的連續量。這迫使物理學家全面修訂對物質與輻射的認識，最終發展出量子力學。

D7A.2 普朗克如何用量子化解釋黑體輻射的性質？ ▶

解答

古典問題：瑞利-金斯定律 $\rho(\lambda,T)=8\pi kT/\lambda^4$ 在短波長發散，無法反映實驗。

普朗克假設：腔壁中頻率為 $\nu$ 的電磁振盪器，能量只能取離散值：

$$E_n = nh\nu, \quad n = 0,1,2,\ldots$$

如何消除紫外線災難：根據波茲曼分佈，高頻振盪器的平均熱能為：

$$\langle E \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu/kT}-1}$$

當 $h\nu \gg kT$（高頻 / 短波長）時，$\langle E\rangle \to 0$（指數衰減），振盪器難以被激發 → 高頻輻射貢獻趨近零，解決紫外線災難。

當 $h\nu \ll kT$（低頻 / 長波長）時，$\langle E\rangle \to kT$，回到古典結果。

完整普朗克分佈：

$$\rho(\lambda,T) = \frac{8\pi hc}{\lambda^5\left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}$$

此式在所有波長均與實驗吻合，同時解釋維恩位移定律（峰值位置）與 Stefan-Boltzmann 定律（總能量）。

D7A.3 愛因斯坦如何用量子化解釋低溫下固體熱容量的行為？ ▶

解答

古典預測的問題：等分定理給每個振動模式能量 $kT$，固體中 $N$ 個原子有 $3N$ 個振動自由度，故 $U_m = 3RT$，$C_{V,m}=3R \approx 24.9\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}$（與溫度無關）。但實驗顯示低溫時 $C_{V,m}\to 0$。

愛因斯坦假設：固體中每個原子像一個量子諧振子，以相同頻率 $\nu$ 振動，能量只能取 $E_n = nh\nu$。

愛因斯坦溫度 $\theta_E = h\nu/k$： 當 $T \gg \theta_E$ 時，熱能足以激發高量子態 → $C_{V,m}\to 3R$（古典極限）。當 $T \ll \theta_E$ 時，大多數振盪子處於基態無法被激發（能量間距 $h\nu \gg kT$）→ $C_{V,m}\to 0$。

公式：

$$C_{V,m}(T) = 3R\left(\frac{\theta_E}{T}\right)^2\frac{e^{\theta_E/T}}{(e^{\theta_E/T}-1)^2}$$

此模型定性上成功解釋低溫熱容的消失。定量上略有誤差（因假設所有振動頻率相同），德拜（Debye）模型允許振動頻率有分佈，修正更準確。

D7A.4 解釋波粒二象性的意義與後果 ▶

解答

波粒二象性（Wave-Particle Duality）：微觀實體同時具有粒子性質（定域、碰撞、動量）與波動性質（干涉、繞射、波長），兩者在不同實驗條件下各自顯現。

① 光的粒子性（光電效應）：光子能量 $E=h\nu$，動量 $p=h/\lambda$。古典波動理論預測動能應與光強有關，但實驗顯示與頻率有關 → 光具粒子性。

② 粒子的波動性（de Broglie，1924）：$\lambda = h/p = h/(mv)$。戴維森-革末實驗（1927）用電子繞射晶體，直接證實電子有波動性。此後分子甚至更大粒子的波動性也陸續被觀測到。

③ 對宏觀物體的影響：宏觀物體（$m \sim 1\ \text{g}$）波長極短（$\lambda \ll 10^{-20}\ \text{m}$），遠小於任何可觀測尺度，故量子效應完全不可察覺，古典力學仍成立。

④ 深遠後果： （a）波動性導致測不準原理：$\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar/2$，位置與動量無法同時精確測定；（b）電子在原子中以「機率雲」（波函數 $\psi$）存在，而非古典軌道；（c）波函數 $\psi$ 的模平方代表機率密度，為統計詮釋。

7A.1 節　章內習題 Exercises for Section 7A.1

E7A.1 黑體（2.7 K）的最大強度波長與頻率 ▶

已知

黑體溫度 $T = 2.7\ \text{K}$

重要概念：$\lambda_\text{max}$ 與 $\nu_\text{max}$ 是不同分佈的峰值，不能互換！

普朗克分佈有兩種等價形式，但形狀不同（差一個 Jacobian 因子 $|d\lambda/d\nu| = c/\nu^2$）：

$\rho(\lambda,T) \propto \dfrac{1}{\lambda^5(e^{hc/\lambda kT}-1)}$　 vs.　$\rho(\nu,T) \propto \dfrac{\nu^3}{e^{h\nu/kT}-1}$

兩條曲線各自求峰值，得到的是兩個不同的維恩定律：

　波長形式：$\lambda_\text{max}T = \dfrac{hc}{4.965\,k} = 2.898\times10^{-3}\ \text{m·K}$（由 $d\rho/d\lambda=0$ 解出常數 4.965）

　頻率形式：$\dfrac{h\nu_\text{max}}{kT} = 2.821$，即 $\dfrac{\nu_\text{max}}{T} = \dfrac{2.821\,k}{h} = 5.879\times10^{10}\ \text{Hz/K}$（由 $d\rho/d\nu=0$ 解出常數 2.821）

因為 $2.821/4.965 = 0.568 \neq 1$，所以 $\nu_\text{max} \neq c/\lambda_\text{max}$。

解題過程

1 波長峰值（$\rho(\lambda)$ 的極大）： $$\lambda_\text{max} = \frac{2.898\times10^{-3}}{2.7} = 1.073\times10^{-3}\ \text{m} \approx 1.07\ \text{mm}$$

2 頻率峰值（$\rho(\nu)$ 的極大，不是 $c/\lambda_\text{max}$！）： $$\nu_\text{max} = 5.879\times10^{10}\ \text{Hz/K} \times 2.7\ \text{K} = 1.59\times10^{11}\ \text{Hz} \approx 159\ \text{GHz}$$

3 驗證：兩者確實不同 $$\frac{c}{\lambda_\text{max}} = \frac{2.998\times10^8}{1.073\times10^{-3}} = 279\ \text{GHz} \neq 159\ \text{GHz} = \nu_\text{max}$$ 比值 $\approx 0.568$，正好等於 $2.821/4.965$。

答案

$\lambda_\text{max} \approx \mathbf{1.07\ mm}$（$\rho(\lambda)$ 的峰值波長）
$\nu_\text{max} \approx \mathbf{159\ GHz}$（$\rho(\nu)$ 的峰值頻率）
注意：$c/\lambda_\text{max} = 279$ GHz ≠ $\nu_\text{max}$，兩者差約 1.76 倍

補充說明

CMB 驗證：宇宙微波背景輻射（CMB）的溫度 $T = 2.725\ \text{K}$，衛星實測頻率峰值約 160 GHz。代入頻率形維恩定律： $\nu_\text{max} = 5.879\times10^{10}\times2.725 = 160.2\ \text{GHz}$ ✓，完美吻合。

為什麼形狀會不同？把 $\rho(\lambda)$ 的橫軸換成頻率時，間距 $d\lambda$ 對應的 $d\nu = (c/\lambda^2)d\lambda$ 不是常數，在不同頻率處「壓縮/拉伸」程度不同，使整條曲線變形，峰值位置因此移動。這是坐標變換（Jacobian）的效應，物理上代表同一條曲線，只是橫軸的「刻度密度」不均勻。

E7A.2 由最大輻射頻率 2823 GHz 推算物體溫度 ▶

已知

$\nu_\text{max} = 2823\ \text{GHz} = 2.823\times10^{12}\ \text{Hz}$

方法（需先判斷「最大值」指的是哪條曲線的峰值）

題目給的是頻率，所以這個最大值是 $\rho(\nu,T)$ 的峰值，應使用頻率形維恩定律：

$$T = \frac{h\nu_\text{max}}{2.821\,k}$$

常數 2.821 來自對 $\rho(\nu)$ 微分並令 $d\rho/d\nu = 0$，解超越方程 $3(1-e^{-x})=x$ 得 $x=2.821$。

⚠ 若直接用 $\lambda=c/\nu$ 代入 $\lambda$-形維恩定律，會得到錯誤的 27.3 K（相差約 1.76 倍），因為那是把 $\nu$ 當作 $\rho(\lambda)$ 的峰值頻率，而實際上兩個峰值不能互換。

解題過程

1 使用頻率形維恩定律： $$T = \frac{h\nu_\text{max}}{2.821\,k} = \frac{(6.626\times10^{-34})(2.823\times10^{12})}{2.821\times1.381\times10^{-23}}$$

2 $$T = \frac{1.870\times10^{-21}}{3.895\times10^{-23}} = 48.0\ \text{K}$$

3 對照錯誤解法：若誤用 $\lambda=c/\nu$ 代入 $\lambda$-形維恩定律， $T = 2.898\times10^{-3}/(c/\nu) = 2.898\times10^{-3}\times\nu/c = 27.3\ \text{K}$（錯誤）。差了 $4.965/2.821 \approx 1.76$ 倍。

答案

$T \approx \mathbf{48\ K}$（使用頻率形維恩定律）

E7A.3 $T=500\ \text{K}$，$\theta_E = 300\ \text{K}$ 固體的莫耳熱容量（以 $3R$ 的倍數表示） ▶

已知

$T = 500\ \text{K}$，$\theta_E = 300\ \text{K}$

方法

愛因斯坦公式：$C_{V,m} = 3R f_E$，其中

$$f_E = \left(\frac{\theta_E}{T}\right)^2 \frac{e^{\theta_E/T}}{(e^{\theta_E/T}-1)^2}$$

解題過程

1 $x = \theta_E/T = 300/500 = 0.600$

2 $e^x = e^{0.600} = 1.8221$

3 $$f_E = (0.600)^2 \times \frac{1.8221}{(1.8221-1)^2} = 0.3600 \times \frac{1.8221}{(0.8221)^2} = \frac{0.6560}{0.6759} = 0.9706$$

4 $C_{V,m} = 3R \times 0.9706 \approx 2.91R$

答案

$C_{V,m} \approx \mathbf{0.97 \times 3R} \approx 24.2\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}$

補充說明

因為 $T/\theta_E = 500/300 = 1.67 > 1$，溫度已超過愛因斯坦溫度，系統接近高溫極限，所以 $f_E \approx 0.97$，非常接近古典極限 $3R$。相反地，若 $T \ll \theta_E$，$f_E \to 0$ 代表低溫下振動模式凍結，熱容量趨近零。

7A.2 節　章內習題 Exercises for Section 7A.2

E7A.4 鈉燈（550 nm）每秒發射的光子數（功率 1.0 W 與 100 W） ▶

已知

$\lambda = 550\ \text{nm} = 5.50\times10^{-7}\ \text{m}$；$P = 1.0\ \text{W}$ 及 $100\ \text{W}$

方法

每個光子能量 $E_{ph} = hc/\lambda$；每秒光子數 $N = P/E_{ph}$

解題過程

1 $$E_{ph} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.626\times10^{-34})(2.998\times10^8)}{5.50\times10^{-7}} = 3.61\times10^{-19}\ \text{J}$$

2 (i) $N = 1.0/(3.61\times10^{-19}) = 2.77\times10^{18}\ \text{s}^{-1}$
(ii) $N = 100/(3.61\times10^{-19}) = 2.77\times10^{20}\ \text{s}^{-1}$

答案

(i) $\mathbf{2.8\times10^{18}}$ 個/秒　　(ii) $\mathbf{2.8\times10^{20}}$ 個/秒

E7A.5 銫的光電效應（$\Phi=2.14\ \text{eV}$）：700 nm 與 195 nm 射出電子之動能與速度 ▶

已知

功函數 $\Phi = 2.14\ \text{eV} = 2.14\times1.602\times10^{-19} = 3.428\times10^{-19}\ \text{J}$

$m_e = 9.109\times10^{-31}\ \text{kg}$

方法

$E_k = h\nu - \Phi = hc/\lambda - \Phi$；$v = \sqrt{2E_k/m_e}$

解題過程

(i) $\lambda = 700\ \text{nm}$

1 $E_{ph} = hc/\lambda = 1.988\times10^{-25}/(7.00\times10^{-7}) = 2.84\times10^{-19}\ \text{J} = 1.77\ \text{eV}$

2 $E_{ph} = 1.77\ \text{eV} < \Phi = 2.14\ \text{eV}$ → 光子能量不足，無光電效應

(ii) $\lambda = 195\ \text{nm}$

1 $E_{ph} = 1.988\times10^{-25}/(1.95\times10^{-7}) = 1.019\times10^{-18}\ \text{J} = 6.36\ \text{eV}$

2 $E_k = 1.019\times10^{-18} - 3.428\times10^{-19} = 6.76\times10^{-19}\ \text{J} = 4.22\ \text{eV}$

3 $$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m_e}} = \sqrt{\frac{2\times6.76\times10^{-19}}{9.109\times10^{-31}}} = \sqrt{1.485\times10^{12}} = 1.22\times10^6\ \text{m/s}$$

答案

(i) 無光電效應（光子能量 1.77 eV 小於功函數 2.14 eV）
(ii) $E_k = 4.22\ \text{eV} = 6.76\times10^{-19}\ \text{J}$，$v = \mathbf{1.22\times10^6\ m/s}$

補充說明

功函數 $\Phi$ 是金屬特性，代表電子從費米能級逃逸到真空所需的最低能量。通常以 eV 表示（1 eV = 1.602×10⁻¹⁹ J）。各金屬功函數差異很大：銫（Cs）2.0 eV 最小（鹼金屬），金（Au）5.1 eV 較大。銫因閾值頻率低，常用於光電管。

E7A.6 使電子 de Broglie 波長為 100 pm 所需的速度與加速電壓 ▶

已知

$\lambda = 100\ \text{pm} = 1.00\times10^{-10}\ \text{m}$，$m_e = 9.109\times10^{-31}\ \text{kg}$，$e = 1.602\times10^{-19}\ \text{C}$

方法

由 de Broglie 關係 $\lambda = h/p$ 求動量 $p$；再由 $v=p/m_e$ 求速度；加速電壓由 $eV = E_k = p^2/(2m_e)$ 求得。

解題過程

1 $$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.626\times10^{-34}}{1.00\times10^{-10}} = 6.626\times10^{-24}\ \text{kg·m/s}$$

2 $$v = \frac{p}{m_e} = \frac{6.626\times10^{-24}}{9.109\times10^{-31}} = 7.27\times10^6\ \text{m/s}$$ （約為光速的 2.4%，可使用非相對論性公式）

3 $$E_k = \frac{p^2}{2m_e} = \frac{(6.626\times10^{-24})^2}{2\times9.109\times10^{-31}} = \frac{4.390\times10^{-47}}{1.822\times10^{-30}} = 2.41\times10^{-17}\ \text{J}$$

4 $$V = \frac{E_k}{e} = \frac{2.41\times10^{-17}}{1.602\times10^{-19}} = 150\ \text{V}$$

答案

$v = \mathbf{7.27\times10^6\ m/s}$；加速電壓 $V = \mathbf{150\ V}$

補充說明

100 pm 與 C–C 鍵長（154 pm）相當，因此 150 V 加速的電子可用於電子繞射，探測分子與晶體結構。這是電子顯微鏡（TEM/SEM）的工作原理基礎。實際的 TEM 使用數十至數百 kV，以獲得更短波長（更高解析度）。

附加習題 Additional Exercises E7A.7–E7A.26

E7A.7 黑體（2.7 K）的最大強度波長與頻率（同 E7A.1） ▶

答案（同 E7A.1，注意兩峰值不能互換）

$\lambda_\text{max} \approx 1.07\ \text{mm}$（$\rho(\lambda)$ 峰值）
$\nu_\text{max} \approx 159\ \text{GHz}$（$\rho(\nu)$ 峰值，≠ $c/\lambda_\text{max} = 279\ \text{GHz}$）

E7A.8 物體輻射最大值在 282 GHz，求溫度（同 E7A.2 但頻率不同） ▶

答案（使用頻率形維恩定律，注意頻率是 282 GHz）

$\nu_\text{max} = 282\ \text{GHz}$，$T = h\nu_\text{max}/(2.821\,k) \approx \mathbf{4.80\ K}$

E7A.9 $T=500\ \text{K}$，$\theta_E = 500\ \text{K}$：莫耳熱容量 ▶

解題過程

1$x = \theta_E/T = 500/500 = 1.000$

2$e^x = e^{1.000} = 2.7183$

3 $$f_E = (1.000)^2\times\frac{2.7183}{(2.7183-1)^2} = \frac{2.7183}{(1.7183)^2} = \frac{2.7183}{2.9525} = 0.9207$$

4$C_{V,m} = 3R\times0.9207 \approx 2.76R$

答案

$C_{V,m} \approx \mathbf{0.921\times3R} \approx 22.9\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}$

E7A.10 計算量子能量：電子振盪（1.0 fs）、分子振動（10 fs）、鐘擺（1.0 s） ▶

方法

$E = h\nu = h/T$（$T$為振盪週期）；$E_\text{mol} = N_A \cdot E$

$N_A = 6.022\times10^{23}\ \text{mol}^{-1}$，$h = 6.626\times10^{-34}\ \text{J·s}$

解題過程

(i) 電子振盪，$T = 1.0\ \text{fs} = 1.0\times10^{-15}\ \text{s}$

1$E = h/T = 6.626\times10^{-34}/1.0\times10^{-15} = 6.63\times10^{-19}\ \text{J}$

2$E_\text{mol} = 6.63\times10^{-19}\times6.022\times10^{23} = 399\ \text{kJ/mol}$

(ii) 分子振動，$T = 10\ \text{fs} = 1.0\times10^{-14}\ \text{s}$

1$E = 6.626\times10^{-34}/1.0\times10^{-14} = 6.63\times10^{-20}\ \text{J}$

2$E_\text{mol} = 6.63\times10^{-20}\times6.022\times10^{23} = 39.9\ \text{kJ/mol}$

(iii) 鐘擺，$T = 1.0\ \text{s}$

1$E = 6.626\times10^{-34}/1.0 = 6.63\times10^{-34}\ \text{J}$

2$E_\text{mol} = 6.63\times10^{-34}\times6.022\times10^{23} = 3.99\times10^{-10}\ \text{J/mol} = 4.0\times10^{-13}\ \text{kJ/mol}$

答案

(i) $6.63\times10^{-19}\ \text{J}$；$399\ \text{kJ/mol}$
(ii) $6.63\times10^{-20}\ \text{J}$；$39.9\ \text{kJ/mol}$
(iii) $6.63\times10^{-34}\ \text{J}$；$4.0\times10^{-13}\ \text{kJ/mol}$（可忽略）

補充說明

(ii) 39.9 kJ/mol 落在典型分子振動的範圍（IR 吸收）。 (iii) 鐘擺的量子能量極小（比熱運動小 ~10²³ 倍），量子效應完全不可觀測 → 這正是為何宏觀物體遵守古典力學的根本原因。

E7A.11 計算量子能量：電子振盪（2.50 fs）、分子振動（2.21 fs）、鐘擺（1.0 ms） ▶

解題過程

(i) $T = 2.50\times10^{-15}\ \text{s}$：
$E = 6.626\times10^{-34}/2.50\times10^{-15} = 2.65\times10^{-19}\ \text{J}$； $E_\text{mol} = 159.6\ \text{kJ/mol} \approx 160\ \text{kJ/mol}$

(ii) $T = 2.21\times10^{-15}\ \text{s}$：
$E = 6.626\times10^{-34}/2.21\times10^{-15} = 3.00\times10^{-19}\ \text{J}$； $E_\text{mol} = 181\ \text{kJ/mol}$

(iii) $T = 1.0\times10^{-3}\ \text{s}$：
$E = 6.626\times10^{-34}/1.0\times10^{-3} = 6.63\times10^{-31}\ \text{J}$； $E_\text{mol} = 4.0\times10^{-7}\ \text{J/mol}$（極小）

答案

(i) $2.65\times10^{-19}\ \text{J}$；$160\ \text{kJ/mol}$ (ii) $3.00\times10^{-19}\ \text{J}$；$181\ \text{kJ/mol}$ (iii) $6.63\times10^{-31}\ \text{J}$；$4.0\times10^{-7}\ \text{J/mol}$

E7A.12 光子能量與莫耳能量：600 nm（紅）、550 nm（黃）、400 nm（藍） ▶

方法

$E_{ph} = hc/\lambda$；$E_\text{mol} = N_A E_{ph}$

記住：$hc = 1.988\times10^{-25}\ \text{J·m}$（常用常數）

計算結果

(i) 600 nm（紅光）

$E = 1.988\times10^{-25}/6.00\times10^{-7} = 3.31\times10^{-19}\ \text{J}$； $E_\text{mol} = 199\ \text{kJ/mol}$

(ii) 550 nm（黃光）

$E = 1.988\times10^{-25}/5.50\times10^{-7} = 3.61\times10^{-19}\ \text{J}$； $E_\text{mol} = 218\ \text{kJ/mol}$

(iii) 400 nm（紫光）

$E = 1.988\times10^{-25}/4.00\times10^{-7} = 4.97\times10^{-19}\ \text{J}$； $E_\text{mol} = 299\ \text{kJ/mol}$

答案

(i) $3.31\times10^{-19}\ \text{J}$；$199\ \text{kJ/mol}$
(ii) $3.61\times10^{-19}\ \text{J}$；$218\ \text{kJ/mol}$
(iii) $4.97\times10^{-19}\ \text{J}$；$299\ \text{kJ/mol}$

補充說明

這些能量與許多化學鍵能（C–C ≈ 347 kJ/mol，C=C ≈ 614 kJ/mol）相當，解釋為何可見光可以引發光化學反應（如光合作用、光降解）。 UV（$\lambda < 400$ nm）能量更高，足以斷裂許多共價鍵。

E7A.13 光子能量與莫耳能量：200 nm（UV）、150 pm（X射線）、1.00 cm（微波） ▶

計算結果

(i) 200 nm（紫外光）

$E = 1.988\times10^{-25}/2.00\times10^{-7} = 9.94\times10^{-19}\ \text{J}$； $E_\text{mol} = 599\ \text{kJ/mol}$

(ii) 150 pm（X 射線）

$E = 1.988\times10^{-25}/1.50\times10^{-10} = 1.325\times10^{-15}\ \text{J} = 8.28\ \text{keV}$； $E_\text{mol} = 7.98\times10^{8}\ \text{kJ/mol}$

(iii) 1.00 cm（微波）

$E = 1.988\times10^{-25}/1.00\times10^{-2} = 1.99\times10^{-23}\ \text{J}$； $E_\text{mol} = 1.20\times10^{-2}\ \text{J/mol} = 0.0120\ \text{J/mol}$

答案

(i) $9.94\times10^{-19}\ \text{J}$；$599\ \text{kJ/mol}$
(ii) $1.33\times10^{-15}\ \text{J}$；$7.98\times10^{5}\ \text{MJ/mol}$
(iii) $1.99\times10^{-23}\ \text{J}$；$0.0120\ \text{J/mol}$

補充說明

能量跨越 18 個數量級（從微波到 X 射線）。 X 射線光子能量極高，足以游離原子（游離能通常 ~1–10 eV），可用於 X 射線光電子能譜（XPS/ESCA）。微波能量極低，只能激發分子轉動，無法引發化學反應，故微波爐靠加熱（轉動→平動能）烹飪食物，而非光化學。

E7A.14 H 原子吸收光子後的反衝速度（600 nm、550 nm、400 nm） ▶

方法

光子動量 $p_{ph} = h/\lambda$。由動量守恆，H 原子獲得動量 $p = h/\lambda$。 $m_H = 1.6735\times10^{-27}\ \text{kg}$；$v = p/m_H$

計算結果

(i) $\lambda=600\ \text{nm}$：$p=1.104\times10^{-27}\ \text{kg·m/s}$； $v = 1.104\times10^{-27}/1.674\times10^{-27} = 0.660\ \text{m/s}$

(ii) $\lambda=550\ \text{nm}$：$p=1.205\times10^{-27}$；$v = 0.720\ \text{m/s}$

(iii) $\lambda=400\ \text{nm}$：$p=1.657\times10^{-27}$；$v = 0.990\ \text{m/s}$

答案

(i) $v \approx 0.66\ \text{m/s}$　　(ii) $v \approx 0.72\ \text{m/s}$　　(iii) $v \approx 0.99\ \text{m/s}$

補充說明

這些反衝速度是雷射冷卻（laser cooling）的基礎。用雷射反覆轟擊原子，每次吸收光子都獲得一個小反衝。累積數千次後，原子可以減速到接近絕對零度（μK 甚至 nK），這是磁光阱（MOT）和玻色-愛因斯坦凝聚（BEC）技術的核心。

E7A.15 ¹⁴N 原子吸收光子後的反衝速度（200 nm UV、150 pm X 射線、1.00 cm 微波） ▶

方法

$m_N = 14.0026 \times 1.66054\times10^{-27}\ \text{kg} = 2.326\times10^{-26}\ \text{kg}$

計算結果

(i) UV 200 nm：$p=h/\lambda = 6.626\times10^{-34}/2.00\times10^{-7} = 3.313\times10^{-27}\ \text{kg·m/s}$
$v = 3.313\times10^{-27}/2.326\times10^{-26} = 0.142\ \text{m/s}$

(ii) X 射線 150 pm：$p=6.626\times10^{-34}/1.50\times10^{-10} = 4.417\times10^{-24}$
$v = 4.417\times10^{-24}/2.326\times10^{-26} = 190\ \text{m/s}$

(iii) 微波 1.00 cm：$p=6.626\times10^{-34}/1.00\times10^{-2} = 6.626\times10^{-32}$
$v = 6.626\times10^{-32}/2.326\times10^{-26} = 2.85\times10^{-6}\ \text{m/s}$

答案

(i) $0.142\ \text{m/s}$　　(ii) $190\ \text{m/s}$　　(iii) $2.85\times10^{-6}\ \text{m/s}$

E7A.16 讀取 CD 的雷射（700 nm），0.10 W 與 1.0 W 每秒發射光子數 ▶

解題過程

1 $E_{ph} = hc/\lambda = 1.988\times10^{-25}/7.00\times10^{-7} = 2.840\times10^{-19}\ \text{J}$

2 (i) $N = 0.10/2.840\times10^{-19} = 3.5\times10^{17}\ \text{s}^{-1}$
(ii) $N = 1.0/2.840\times10^{-19} = 3.5\times10^{18}\ \text{s}^{-1}$

答案

(i) $3.5\times10^{17}\ \text{s}^{-1}$　　(ii) $3.5\times10^{18}\ \text{s}^{-1}$

E7A.17 銣的光電效應（$\Phi=2.09\ \text{eV}$）：650 nm 與 195 nm 的動能與速度 ▶

解題過程

$\Phi = 2.09\times1.602\times10^{-19} = 3.348\times10^{-19}\ \text{J}$

(i) $\lambda = 650\ \text{nm}$

1 $E_{ph} = hc/\lambda = 1.988\times10^{-25}/6.50\times10^{-7} = 3.058\times10^{-19}\ \text{J} = 1.909\ \text{eV}$

2 $E_{ph} = 1.909\ \text{eV} < \Phi = 2.09\ \text{eV}$，光子能量不足以逸出電子，無光電效應。

(ii) $\lambda = 195\ \text{nm}$

1 $E_{ph} = 1.988\times10^{-25}/1.95\times10^{-7} = 1.019\times10^{-18}\ \text{J} = 6.36\ \text{eV}$

2 $E_k = 1.019\times10^{-18}-3.348\times10^{-19} = 6.84\times10^{-19}\ \text{J} = 4.27\ \text{eV}$

3 $v = \sqrt{2E_k/m_e} = \sqrt{2\times6.84\times10^{-19}/9.109\times10^{-31}} = \sqrt{1.502\times10^{12}} = 1.226\times10^6\ \text{m/s}$

答案

(i) 無光電效應（$E_{ph} = 1.91\ \text{eV} < \Phi = 2.09\ \text{eV}$）
(ii) $E_k = 4.27\ \text{eV}$，$v = 1.23\times10^6\ \text{m/s}$

E7A.18 螢火蟲（5.0 g）發射 650 nm 紅光（0.10 W），10 年後的速度 ▶

方法

光子動量率（推力）$F = P/c$（光壓力，不依賴波長）；$v = Ft/m$

此題只需功率 $P$ 與 $c$，波長不影響動量計算（因光子動量 $p=h/\lambda=E/c$，總動量率 $= P/c$）。

解題過程

1 推力：$F = P/c = 0.10/2.998\times10^8 = 3.336\times10^{-10}\ \text{N}$

2 10 年換算：$t = 10\times365.25\times24\times3600 = 3.156\times10^8\ \text{s}$

3 $\Delta p = F\cdot t = 3.336\times10^{-10}\times3.156\times10^8 = 0.1053\ \text{kg·m/s}$

4 $v = \Delta p / m = 0.1053/5.0\times10^{-3} = 21.1\ \text{m/s}$

答案

$v \approx \mathbf{21\ m/s}$（10 年後仍只有慢跑速度）

補充說明

雖然對生物毫無影響，光壓（radiation pressure）對宇宙尺度的物體很重要：彗星的彗尾因太陽光壓而背離太陽；太陽帆（solar sail）太空船則利用此效應航行。 IKAROS（2010）是世界第一艘成功以太陽帆驅動的太空船。

E7A.19 光子太空船（100 kg，225 nm，1.50 kW），10.0 年後的速度 ▶

解題過程

1 $F = P/c = 1500/2.998\times10^8 = 5.003\times10^{-6}\ \text{N}$

2 10.0 年換算：$t = 10.0\times365.25\times24\times3600 = 3.156\times10^8\ \text{s}$

3 $\Delta p = F\cdot t = 5.003\times10^{-6}\times3.156\times10^8 = 1579\ \text{kg·m/s}$

4 $v = \Delta p/m = 1579/100 = 15.79\ \text{m/s} \approx 15.8\ \text{m/s}$

答案

$v \approx \mathbf{15.8\ m/s}$（10 年後約慢跑至衝刺速度）

E7A.20 使質子 de Broglie 波長為 100 pm 所需速度與加速電壓 ▶

解題過程

1 $p = h/\lambda = 6.626\times10^{-34}/1.00\times10^{-10} = 6.626\times10^{-24}\ \text{kg·m/s}$

2 $v = p/m_p = 6.626\times10^{-24}/1.6726\times10^{-27} = 3962\ \text{m/s} \approx 3.96\ \text{km/s}$

3 $E_k = p^2/(2m_p) = (6.626\times10^{-24})^2/(2\times1.6726\times10^{-27}) = 4.390\times10^{-47}/3.345\times10^{-27} = 1.313\times10^{-20}\ \text{J}$

4 $V = E_k/e = 1.313\times10^{-20}/1.602\times10^{-19} = 0.0820\ \text{V}$

答案

$v \approx 3.96\ \text{km/s}$；加速電壓 $V \approx \mathbf{0.082\ V}$（很低）

補充說明

質子質量約為電子的 1836 倍，要達到相同波長（100 pm）所需的速度比電子低得多（v ∝ 1/m），但所需電壓更低（因 $V = p^2/2me$，與質量成反比）。這是質子束（如質子治療癌症）與電子束物理上的重要差異。

E7A.21 使電子 de Broglie 波長為 3.0 cm 所需速度 ▶

解題過程

1 $p = h/\lambda = 6.626\times10^{-34}/3.0\times10^{-2} = 2.209\times10^{-32}\ \text{kg·m/s}$

2 $v = p/m_e = 2.209\times10^{-32}/9.109\times10^{-31} = 0.02425\ \text{m/s} \approx 2.4\ \text{cm/s}$

答案

$v \approx \mathbf{0.024\ m/s} = 2.4\ \text{cm/s}$（非常慢！）

E7A.22 使質子 de Broglie 波長為 3.0 cm 所需速度 ▶

解題過程

$p$ 同 E7A.21 = $2.209\times10^{-32}\ \text{kg·m/s}$

$v = p/m_p = 2.209\times10^{-32}/1.6726\times10^{-27} = 1.32\times10^{-5}\ \text{m/s} \approx 13.2\ \mu\text{m/s}$

答案

$v \approx \mathbf{1.32\times10^{-5}\ m/s}$（更慢）

E7A.23 以精細結構常數 $\alpha_f \approx 1/137$ 速度運動的電子之 de Broglie 波長 ▶

方法

精細結構常數 $\alpha_f = e^2/(4\pi\varepsilon_0 \hbar c) \approx 1/137.036$，近似為氫原子中電子速度與光速之比（Bohr 模型中 $v_1 = \alpha_f c$）。

解題過程

1 $v = \alpha_f c = c/137 = 2.998\times10^8/137 = 2.188\times10^6\ \text{m/s}$

2 $p = m_e v = 9.109\times10^{-31}\times2.188\times10^6 = 1.993\times10^{-24}\ \text{kg·m/s}$

3 $\lambda = h/p = 6.626\times10^{-34}/1.993\times10^{-24} = 3.32\times10^{-10}\ \text{m} = 332\ \text{pm}$

答案

$\lambda \approx \mathbf{332\ pm}$

補充說明

332 pm 接近 Bohr 半徑 $a_0 = 52.9\ \text{pm}$ 的 6 倍多。精細結構常數 $\alpha_f \approx 1/137$ 是量子電動力學（QED）中最重要的無因次常數，它決定電磁相互作用的強度。它的數值至今無法從第一原理計算，是物理學最著名的謎之一（費曼曾說這個數字讓他魂牽夢繞）。

E7A.24 350 nm 光子的線動量；H₂ 分子要有相同動量所需速度 ▶

解題過程

1 $p_{ph} = h/\lambda = 6.626\times10^{-34}/3.50\times10^{-7} = 1.893\times10^{-27}\ \text{kg·m/s}$

2 H₂ 質量：$m = 2\times1.6735\times10^{-27} = 3.347\times10^{-27}\ \text{kg}$
$v = p/m = 1.893\times10^{-27}/3.347\times10^{-27} = 0.566\ \text{m/s}$

答案

光子動量 $p = 1.89\times10^{-27}\ \text{kg·m/s}$； H₂ 需以 $v \approx \mathbf{0.57\ m/s}$ 運動

E7A.25 de Broglie 波長：(a) 1 g，1 cm/s；(b) 1 g，100 km/s；(c) He，1000 m/s ▶

計算結果

(a) $\lambda = h/(mv) = 6.626\times10^{-34}/(10^{-3}\times10^{-2}) = 6.63\times10^{-29}\ \text{m}$

(b) $\lambda = 6.626\times10^{-34}/(10^{-3}\times10^{5}) = 6.63\times10^{-36}\ \text{m}$

(c) He：$m=4.003\times1.66054\times10^{-27}=6.646\times10^{-27}\ \text{kg}$
$\lambda = 6.626\times10^{-34}/(6.646\times10^{-27}\times1000) = 9.97\times10^{-11}\ \text{m} = 99.7\ \text{pm}$

答案

(a) $6.6\times10^{-29}\ \text{m}$（遠小於任何原子尺度，不可觀測）
(b) $6.6\times10^{-36}\ \text{m}$（更小）
(c) $\approx 100\ \text{pm}$（與原子尺度相當，波動性可觀測！）

補充說明

He 原子在室溫（$\sim1000\ \text{m/s}$ 為典型速度）的 de Broglie 波長約 100 pm，與晶體間距相當，可做原子束繞射實驗（He atom scattering）。宏觀物體（a, b）的波長小到完全不可觀測，量子效應完全消失，古典力學成立。這解釋了為什麼我們日常世界是古典的。

E7A.26 電子加速通過 100 V、1.0 kV、100 kV 後的 de Broglie 波長 ▶

方法

$eV = E_k = p^2/(2m_e)$ → $p = \sqrt{2m_e eV}$ → $\lambda = h/p$

代入：$\lambda = h/\sqrt{2m_e eV}$

計算結果

共同因子：$2m_e e = 2\times9.109\times10^{-31}\times1.602\times10^{-19} = 2.920\times10^{-49}\ \text{C·kg}$

(i) V = 100 V： $p = \sqrt{2.920\times10^{-49}\times100} = \sqrt{2.920\times10^{-47}} = 5.404\times10^{-24}\ \text{kg·m/s}$
$\lambda = 6.626\times10^{-34}/5.404\times10^{-24} = 1.226\times10^{-10}\ \text{m} = 123\ \text{pm}$

(ii) V = 1.0 kV = 1000 V： $p = \sqrt{2.920\times10^{-46}} = 1.709\times10^{-23}$； $\lambda = 6.626\times10^{-34}/1.709\times10^{-23} = 3.88\times10^{-11}\ \text{m} = 38.8\ \text{pm}$

(iii) V = 100 kV = 10⁵ V： $p = \sqrt{2.920\times10^{-44}} = 5.403\times10^{-23}$； $\lambda = 6.626\times10^{-34}/5.403\times10^{-23} = 1.23\times10^{-11}\ \text{m} = 12.3\ \text{pm}$

答案

(i) $\lambda \approx 123\ \text{pm}$　　(ii) $\lambda \approx 38.8\ \text{pm}$　　(iii) $\lambda \approx 12.3\ \text{pm}$

補充說明

注意：100 kV 時電子速度達到光速的約 54%，嚴格應用相對論修正： $$\lambda_\text{rel} = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV\left(1+\frac{eV}{2m_e c^2}\right)}}$$ 相對論修正後約得到 3.7 pm，比非相對論值（12.3 pm）小許多。高能 TEM（200–300 kV）必須使用相對論公式計算電子波長。

Topic 7A 習題詳細解答

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