Topic 7B　波函數

Wavefunctions ｜ 物理化學心智圖

薛丁格方程式 & 波函數的詮釋
Schrödinger Equation & Born Interpretation
7B.1　薛丁格方程式 Schrödinger Equation
方程式本身The Equation
  • 非含時薛丁格方程式 7B.1
    −(ℏ²/2m) d²ψ/dx² + V(x)ψ = Eψ ℏ = h/2π；V(x) = 粒子在 x 的勢能；E = 系統總能量
  • 1926 年薛丁格提出，是量子力學的基本假設（公設），無法從更基本的定律推導
自由粒子的特例Free Particle
  • 自由粒子：V(x) = 0（到處均為零），所以 E = p²/2m（純動能）
  • 方程式化簡：−(ℏ²/2m) d²ψ/dx² = Eψ
  • 解為 ψ = sin(2πx/λ)，代入驗證得 p² = h²/λ²，正好對應 de Broglie 關係
波函數的意義
  • 波函數 ψ 包含系統所有的動力學資訊（位置、動量等）
  • 量子力學中粒子沒有確定的軌跡，只有機率分佈
7B.2　Born 詮釋 Born Interpretation
機率密度Probability Density
  • ψ 本身無直接物理意義；|ψ|² 才是可觀測的機率密度
  • 在位置 x 附近 dx 範圍內找到粒子的機率：
    dP = |ψ(x)|² dx 三維：dP = |ψ(r)|² dτ，dτ = dx dy dz
  • 若 ψ 為複數，|ψ|² = ψ*ψ（ψ* 為複數共軛）
  • ψ 稱為機率振幅（probability amplitude）
節點Nodes
  • 節點（node）：ψ 穿越零的位置（機率密度為零）
  • 注意：ψ → 0 但從未穿越零（如 e⁻ˣ）不算節點
  • ψ 正負號本身無物理意義（|ψ|² 才重要），但正負號影響波函數之間的建設性/破壞性干涉
7B.2(a)　歸一化 Normalization
歸一化條件Normalization Condition
  • 粒子必然存在於某處，故全空間積分為 1：
    ∫ψ*ψ dτ = 1 7B.4c
  • 若原始 ψ 未歸一化，乘以歸一化常數 N：
    N = 1 / √(∫|ψ|² dτ)
例：碳奈米管中電子Nanotube Example
  • 最低能態波函數：ψ = N sin(πx/L)（L 為管長）
  • 代入歸一化條件得：N = (2/L)^(1/2)
  • 第二激發態：ψ = (2/L)^(1/2) sin(2πx/L)
機率計算Probability Calculation
  • 在 x₁ 到 x₂ 區間找到粒子的機率：
    P = ∫(x₁→x₂) |ψ(x)|² dx 7B.5
7B.2(b)(c)　限制條件與量子化 Constraints & Quantization
合理波函數的四個條件
① 不能無限大
在有限區域內 ψ 必須有限（否則機率密度無意義）
② 單值
在任何位置只有唯一的 ψ 值
③ 連續
ψ 本身必須連續（不可跳躍）
④ 連續斜率
dψ/dx 連續（例外：勢能無限大時）
量子化的起源Origin of Quantization
  • 以上四個限制條件非常嚴格，導致薛丁格方程式只有在特定 E 值下才有合理解
  • 能量量子化是邊界條件的數學結果，不需要額外假設
  • ✦ 與古典力學的關鍵差異：古典系統中 E 可以是任意連續值
7B 核心概念清單 Checklist of Concepts
波函數
  • 包含系統的所有動力學資訊
  • 薛丁格方程式是二階微分方程
  • ψ 可以是複數
Born 詮釋
  • 機率密度 = |ψ|²
  • ψ 必須平方可積（才能歸一化）
  • 節點 = ψ 穿越零的位置
量子化
  • 能量量子化 = 邊界條件的結果
  • 不是另加的假設，是數學必然
  • 約化普朗克常數 ℏ = h/2π = 1.055×10⁻³⁴ J·s

重要公式

名稱公式說明式號
非含時薛丁格方程式 −(ℏ²/2m) d²ψ/dx² + V(x)ψ = Eψ 量子力學基本方程，定態能量本徵值問題 7B.1
Born 詮釋（一維） dP = |ψ(x)|² dx 在 x 到 x+dx 間找到粒子的機率 —
歸一化條件 ∫ψ*ψ dτ = 1 粒子必然存在於某處 7B.4c
區間機率 P = ∫(x₁→x₂) |ψ(x)|² dx 在指定區間找到粒子的機率 7B.5
歸一化常數 N = 1/√(∫|ψ|² dτ) 使波函數滿足歸一化條件的常數因子 7B.3
約化普朗克常數 ℏ = h/(2π) = 1.055×10⁻³⁴ J·s 量子力學中最常出現的形式 —

核心概念一覽

薛丁格方程式 Schrödinger Eq.
波函數 ψ Wavefunction
機率密度 |ψ|²
Born 詮釋 Born Interpretation
歸一化 ∫|ψ|²dτ = 1
節點 Node (ψ = 0)
平方可積 Square-integrable
邊界條件 → 量子化 Quantization
約化普朗克常數 ℏ = h/2π