§1 學習目標與這堂課的定位
在 7D.2（一維盒中粒子）與 7D.3（多維盒）之後，我們已熟悉「無限深井」中的束縛態。這堂課要面對量子力學最驚奇的現象之一：粒子能量 $E$ 比障礙高度 $V_0$ 還低，竟然仍有機率「穿過」障礙——這就是量子穿隧（quantum tunnelling）。
- 理解古典「擋住」與量子「滲透」之間的本質差異。
- 能寫出三區的波函數通解，並解釋每一區的物理意義。
- 透過 $\psi$ 與 $\psi'$ 在邊界連續，導出穿隧係數 $T$。
- 掌握完整公式 (7D.20a) 與厚障近似 (7D.20b) 的適用範圍。
- 分析 $T$ 對質量 $m$、障礙高 $V_0$、障礙寬 $L$ 的指數敏感度。
- 了解有限深井的束縛態、波函數滲入古典禁區、束縛態總數的物理意涵。
- 能說出 STM、α 衰變、酵素中氫轉移三種真實系統如何被穿隧理論統一。
§2 古典與量子的對比：能量不夠也能穿牆？
2.1 古典圖像
想像一個球以動能 $E$ 衝向高度為 $V_0$ 的山丘。
- $E < V_0$：能量不夠，球必然完全反彈，透射機率 = 0。
- $E > V_0$：能量足夠，球必然全部過去，透射機率 = 1。
古典的世界是「全有全無」的——由能量大小決定，沒有中間。
2.2 量子圖像
把球換成電子、把山丘換成位能障，量子力學告訴我們：
- $E < V_0$：仍有非零的穿隧機率 $T > 0$，雖然 $T$ 通常很小，但不為零。
- $E > V_0$：仍有非零的反射機率 $R > 0$（量子反射）。
古典：粒子是定域點，能量是「擁有量」，碰到牆要嘛反彈、要嘛通過。
量子：粒子是延展波，能量決定「振盪」與「衰減」的形態，波在邊界永遠留下一些殘餘振幅。
2.3 直接的實驗證據
不是理論浪漫——以下三個事實若沒有穿隧，根本無法解釋：
- STM 看得到原子：探針離樣品 5 Å，仍有 nA 級電流，這個距離若按古典絕緣空隙判斷應該無電流。
- 放射性 α 衰變：α 粒子能量 $\sim$ 4–9 MeV 卻要穿過 $\sim$ 25 MeV 的庫倫障——這是純粹的穿隧。
- 太陽核融合：質子動能比庫倫障低數百倍，沒有穿隧太陽根本點不起來。
§3 矩形位能障的設定
為了把概念定量化，我們選最簡單的位能形狀——矩形障：
這是一個從左方入射、能量 $E < V_0$ 的粒子，要穿過寬度 $L$、高度 $V_0$ 的障礙。雖然真實位能（如 STM 真空隙、α 衰變的庫倫障）形狀更複雜，但矩形障捕捉了所有關鍵物理，且解析可解。
3.1 三個區的波長／衰減尺度
區 II（$V=V_0>E$）：$\displaystyle \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}$
$k$ 是「波動數」、$\kappa$ 是「衰減常數」。注意 $\kappa$ 的根號內是 $V_0-E>0$，因此 $\kappa$ 是純實數；這正是區 II 的解會「指數衰減」而非「振盪」的數學原因。
§4 三區波函數
在每一區內 $V$ 為常數，薛丁格方程簡化為：
區 II：$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\psi''+V_0\psi=E\psi \Rightarrow \psi''=+\kappa^2\psi$（指數解）
4.1 通解
4.2 各係數的物理意義
| 係數 | 物理意義 |
|---|---|
| $A$ | 從左方入射的波振幅（通常設為 1 作正規化） |
| $B$ | 從障礙反射回左方的波振幅 |
| $C, D$ | 障礙內兩個指數模式的混合 |
| $A'$ | 穿過障礙進入區 III 的透射波振幅 |
4.3 區 II 的兩個指數項都要保留
有些教材在「厚障近似」下只留 $D\,e^{-\kappa x}$（衰減項）。但嚴格解必須兩項都保留——只有把兩個邊界條件都用上、且 $\kappa L$ 不夠大時，$C\,e^{\kappa x}$ 的「向上爬」項才會帶來修正。
§5 邊界條件與匹配
5.1 為什麼要 $\psi$ 與 $\psi'$ 都連續？
波函數的物理要求兩條：
- $\psi$ 連續：$|\psi|^2$ 是機率密度，必須單值有限——任何跳躍都意味機率不守恆。
- $\psi'$ 連續：因為 $-\hbar^2\psi''/2m$ 出現在薛丁格方程中，若 $\psi'$ 跳躍則 $\psi''$ 含 Dirac $\delta$ 函數，這只在「位能也含 $\delta$」時才容許；對於有限位能（包括我們矩形障的階梯邊界），$\psi'$ 必須連續。
5.2 在 $x=0$ 的匹配
$\psi'$ 連續：$\quad ik(A-B)=\kappa(C-D)$
5.3 在 $x=L$ 的匹配
$\psi'$ 連續：$\quad \kappa(C\,e^{\kappa L}-D\,e^{-\kappa L})=ik\,A'\,e^{ikL}$
5.4 變數與方程的計數
未知數：$B, C, D, A'$ 四個（$A$ 視為已知正規化）。匹配條件：4 個。恰好夠解。這是量子力學標準的「散射問題」結構。
§6 完整穿隧係數 T 的推導
6.1 透射係數的定義
6.2 解四元線性方程組
把 §5 的四條方程組合，消去 $B, C, D$，留下 $A'/A$。經整理得（$\varepsilon\equiv E/V_0$）：
6.3 推導大綱（懂的同學自己驗證）
- 從 $x=L$ 兩條方程把 $C,D$ 解成 $A'$ 的線性組合。
- 代回 $x=0$ 兩條方程，消去 $B$，得到 $A'/A$ 的單一表達式。
- 取絕對值平方並化簡。利用 $\sinh^2(\kappa L)=\cosh^2(\kappa L)-1$ 與 $k\kappa$ 的恆等式整理。
細節在多數量子力學課本（例如 Griffiths Example 2.7）有完整推導，這裡只列關鍵結果。
6.4 $T$ 的形態速覽
- $T$ 永遠介於 $0$ 與 $1$ 之間（機率守恆）。
- 對固定 $\kappa L$，$T$ 在 $\varepsilon=1/2$ 達到最大（前因子 $4\varepsilon(1-\varepsilon)$ 在 $\varepsilon=1/2$ 取最大值 1）。
- 當 $\varepsilon\to 0$ 或 $\varepsilon\to 1$，$T\to 0$（前因子趨零）。注意這不違反「能量越大越容易過」的直覺——因為 $\kappa$ 也隨 $\varepsilon\to 1$ 趨零，兩個因素競爭。
§7 厚障近似與物理直覺
7.1 推導厚障近似
當 $\kappa L\gg 1$（高、寬、重粒子）時，$e^{\kappa L}\gg e^{-\kappa L}$，因此：
$\displaystyle T\approx\frac{16\,\varepsilon(1-\varepsilon)}{e^{2\kappa L}}=16\,\varepsilon(1-\varepsilon)\,e^{-2\kappa L}$
7.2 適用條件
- $\kappa L\gg 1$：通常 $\kappa L\ge 2$ 即可有不錯的近似（誤差 $<10\%$）。
- $\varepsilon$ 不可貼近 1：當 $\varepsilon\to 1$，$\kappa\to 0$，近似條件失效。
7.3 物理直覺：指數敏感性
厚障近似最重要的特徵：$T$ 對 $\kappa L$ 是指數函數。前因子 $16\varepsilon(1-\varepsilon)$ 量級是 $O(1)$，所有的「巨大變化」都來自指數。
對 $L$ 微分：$\partial(\ln T)/\partial L=-2\kappa$（線性）。
這意味：在半對數圖（$\log T$ vs $L$）上 $T$ 是直線，斜率 $-2\kappa/\ln 10$。
§8 衰減常數 κ：質量、高度、寬度
把 $\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$ 拆開看三個變量的影響：
8.1 質量效應
$\kappa\propto\sqrt{m}$。質子比電子重 1836 倍 → $\kappa$ 大 $\sqrt{1836}\approx 43$ 倍。代回 $T\propto e^{-2\kappa L}$，同樣障礙下質子的 $T$ 比電子小 $e^{2\times 42\kappa_e L}$ 倍——可以差到天文數字。
| 粒子 | $m/m_e$ | $\kappa$ 倍率 | $T$（$V_0-E=2$ eV、$L=0.5$ nm）量級 |
|---|---|---|---|
| 電子 $e^-$ | 1 | ×1 | $\sim 10^{-3}$ |
| 質子 $p$（即 H 原子核） | 1836 | ×43 | $\sim 10^{-115}$ |
| 氘核 $d$ | 3672 | ×61 | $\sim 10^{-163}$ |
| $^{12}$C 核 | 21900 | ×148 | $\sim 10^{-396}$ |
8.2 高度效應
$\kappa\propto\sqrt{V_0-E}$。$V_0-E$ 加倍 → $\kappa$ 變 $\sqrt{2}$ 倍 → $T$ 縮 $e^{-2(\sqrt{2}-1)\kappa L}$。這比質量效應稍弱，但仍是指數的。
8.3 寬度效應
$L$ 線性出現在指數內：$T\propto e^{-2\kappa L}$。最戲劇化的應用見於 STM——探針高度 $d$ 改變 1 Å，$\kappa\approx 1$ Å$^{-1}$（典型金屬功函數），$T$ 變 $e^{-2}\approx 1/7.4\approx 13\%$，再結合更大功函數常給 $\sim 10$ 倍變化。
8.4 三者的綜合
7D4_visualizations.html 的 ④（厚度衰減）、⑤（質量效應）、⑪（完整 vs 近似）三節即時展示這些行為。§9 有限深位能井：束縛態與滲透
9.1 從穿隧轉到束縛
前面討論「能量 $E$ 從外部入射」的散射問題。現在問束縛問題：粒子被困在一個有限深的方井 $V(x)=0$（$|x|\le L/2$）、$V(x)=V_0$（$|x|>L/2$），$E 和 7D.2 的「無限深井」差別在哪？無限深井 $V_0=\infty$ 時，$\psi$ 在井外被強制歸零；現在 $V_0$ 有限，$\psi$ 在井外應該按 $e^{-\kappa|x|}$ 衰減但不為零——這意味著「波函數可以滲入古典禁區」。 因為 $V(x)$ 對 $x=0$ 對稱，束縛態必為偶宇稱或奇宇稱： 令 $z=kL/2$、$z_0=(L/2)\sqrt{2mV_0}/\hbar$，由 $\psi$ 與 $\psi'$ 在 $x=L/2$ 連續可推出： 這些是超越方程，沒有閉式解，只能數值解。但圖形分析可以馬上看出「有幾個解」——這是束縛態總數。 每當 $z_0$ 跨過 $\pi/2, \pi, 3\pi/2, \ldots$ 就「冒出」一個新束縛態。把 $z_0$ 換成教科書習慣的形式： 1981 年 Binnig 與 Rohrer 發明 STM，1986 年諾貝爾物理獎。原理：金屬探針離樣品 $d$（典型 5 Å），施加偏壓後電子穿過真空隙形成穿隧電流 $I$。 原子核中組裝好的 α 粒子（兩質子兩中子）能量 $\sim 5$ MeV，要逃離原子核需穿過高 $\sim 25$ MeV 的庫倫障——古典完全不可能。Gamow 用穿隧理論解釋： 積分化簡後得 Gamow 因子，$\lambda$（衰變率）對 α 動能 $E$ 是指數敏感的。 化學反應的「過渡態」就是反應坐標上的位能障。一般古典 Arrhenius $k\propto e^{-E_a/k_BT}$ 描述。但若反應牽涉「氫原子轉移」（質子轉移、氫原子抽取），質子質量比電子重 1836 倍但比 C/N/O 輕 12–16 倍，於是處在「穿隧顯著但又不至於完全 dominated」的範圍。 電子能量 $E=2.0$ eV、撞向 $V_0=5.0$ eV、寬 $L=0.50$ nm 的真空障，計算 $T$（用厚障近似）。 解： 意思：每 2000 個入射電子大約有 1 個能穿過。STM 中由於電流是大量電子集合，這已足以產生 nA 級可量訊號。 沿用例題 1 的條件，問 $L$ 從 0.50 增至 0.60 nm，$T$ 變多少倍？ 解： $L$ 增 0.1 nm（1 Å），電流降為原 17%（約 $1/6$）。這正是 STM 解析度的根源。 （教科書 Brief illustration 7D.6）酸性氫的質子被高 $V_0=2.000$ eV、寬 $W=100$ pm 的障擋住，動能 $E=1.995$ eV。求 $T$。 解： 意思：每千個質子能有約 2 個越過酸的鍵能障——這在化學中以「氫交換速率」具體展現。 同一個障 $V_0-E=2.0$ eV、$L=0.50$ nm，電子和質子的 $T$ 比較？ 解： 結論：質量差 1836 倍 → $T$ 差 $10^{131}$ 倍。化學中能談「質子穿隧」只在障礙非常薄（$\le 1$ Å）或非常矮（$\le 0.1$ eV）時才現實。 電子在 $V_0=10$ eV、$L=1.0$ nm 的對稱方井中。求束縛態總數。 解： 對比：若是「無限深井」同尺寸，會有無限多能階。有限深井的「上限」是 $V_0$ 自身。 提示：(1) 與分子軌域理論的「LCAO」對應，是物理化學「穿隧 → 化學鍵」的橋樑；(6) 是研究所量子力學期中考的經典題型。9.2 對稱井的奇偶分解
井外（$|x|>L/2$）：$\psi=B\,e^{-\kappa|x|}$（偶）或 $\pm B\,e^{-\kappa|x|}$（奇），$\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$
9.3 匹配條件 → 超越方程
奇宇稱：$\;-z\cot z=\sqrt{z_0^2-z^2}$
9.4 束縛態數量公式（教科書 7D.21）
9.5 兩個重要極限
9.6 為什麼 ψ 滲入禁區重要？
§10 三大應用：STM、α 衰變、氫穿隧
10.1 STM（掃描穿隧顯微鏡）
$\kappa\approx 1\,\text{Å}^{-1}$，故 $d$ 變 1 Å → $I$ 變 $e^{-2}\approx 0.13$ 倍（約 $\div 8$）。
10.2 α 衰變（Gamow 1928）
同位素 $E_\alpha$ (MeV) 半衰期 $^{238}$U 4.27 $4.5\times 10^{9}$ 年 $^{226}$Ra 4.87 1600 年 $^{222}$Rn 5.59 3.8 天 $^{218}$Po 6.11 3.1 分鐘 $^{212}$Po 8.78 0.3 μs 10.3 氫穿隧與酵素催化（KIE 異常）
10.4 其他穿隧現象（自學參考）
§11 例題與詳解
（推導：$h^2/(8m_e\,1\text{ eV}\,1\text{ nm}^2)=0.376$）§12 本節核心整理
§13 延伸思考題